۱- حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید و تا حد امکان ساده کنید:
۱) $(-۲\frac{۵}{۶} + \frac{۱}{۲}) \div (-۱ - \frac{۱}{۹})$
۲) $\frac{۱ - \frac{۱}{۲} + \frac{۳}{۴}}{\frac{۵}{۱۰} - \frac{۳}{۴} - \frac{۱}{۲}} \div ۵\frac{۱}{۳}$
۳) $-\frac{۱}{۲} + \frac{-۵}{۶} \div \frac{۷}{۵} \times \frac{۷}{۵} + \frac{۲}{۳}$
۴) $\frac{۱}{-۱ - \frac{۱}{-۱ - \frac{۱}{۳}}}$
پاسخ تشریحی:
برای محاسبه‌ی حاصل هر عبارت، ترتیب عملیات ریاضی (پرانتز، توان، ضرب و تقسیم، جمع و تفریق) را رعایت می‌کنیم.
**۱) $(-۲\frac{۵}{۶} + \frac{۱}{۲}) \div (-۱ - \frac{۱}{۹})$**
* ابتدا عبارت داخل پرانتز اول را محاسبه می‌کنیم: $-۲\frac{۵}{۶} + \frac{۱}{۲} = -\frac{۱۷}{۶} + \frac{۳}{۶} = -\frac{۱۴}{۶} = -\frac{۷}{۳}$
* سپس عبارت داخل پرانتز دوم را محاسبه می‌کنیم: $-۱ - \frac{۱}{۹} = -\frac{۹}{۹} - \frac{۱}{۹} = -\frac{۱۰}{۹}$
* در نهایت، حاصل تقسیم را به دست می‌آوریم: $(- \frac{۷}{۳}) \div (- \frac{۱۰}{۹}) = (- \frac{۷}{۳}) \times (- \frac{۹}{۱۰}) = +\frac{۷ \times ۹}{۳ \times ۱۰} = \frac{۶۳}{۳۰} = \frac{۲۱}{۱۰}$
**۲) $\frac{۱ - \frac{۱}{۲} + \frac{۳}{۴}}{\frac{۵}{۱۰} - \frac{۳}{۴} - \frac{۱}{۲}} \div ۵\frac{۱}{۳}$**
* صورت کسر بزرگ: $۱ - \frac{۱}{۲} + \frac{۳}{۴} = \frac{۴-۲+۳}{۴} = \frac{۵}{۴}$
* مخرج کسر بزرگ: $\frac{۵}{۱۰} - \frac{۳}{۴} - \frac{۱}{۲} = \frac{۱}{۲} - \frac{۳}{۴} - \frac{۱}{۲} = -\frac{۳}{۴}$
* حاصل کسر بزرگ: $\frac{\frac{۵}{۴}}{-\frac{۳}{۴}} = -\frac{۵}{۳}$
* عدد دوم: $۵\frac{۱}{۳} = \frac{۱۶}{۳}$
* حاصل تقسیم نهایی: $(-\frac{۵}{۳}) \div (\frac{۱۶}{۳}) = -\frac{۵}{۳} \times \frac{۳}{۱۶} = -\frac{۵}{۱۶}$
**۳) $-\frac{۱}{۲} + \frac{-۵}{۶} \div \frac{۷}{۵} \times \frac{۷}{۵} + \frac{۲}{۳}$**
* اولویت با تقسیم و ضرب است (از چپ به راست):
$ \frac{-۵}{۶} \div \frac{۷}{۵} = \frac{-۵}{۶} \times \frac{۵}{۷} = \frac{-۲۵}{۴۲} $
$ \frac{-۲۵}{۴۲} \times \frac{۷}{۵} = \frac{-۵ \times ۱}{۶ \times ۱} = -\frac{۵}{۶} $
* حالا جمع و تفریق را انجام می‌دهیم:
$ -\frac{۱}{۲} - \frac{۵}{۶} + \frac{۲}{۳} = -\frac{۳}{۶} - \frac{۵}{۶} + \frac{۴}{۶} = \frac{-۳-۵+۴}{۶} = \frac{-۴}{۶} = -\frac{۲}{۳}$
**۴) $\frac{۱}{-۱ - \frac{۱}{-۱ - \frac{۱}{۳}}}$**
* از داخلی‌ترین مخرج شروع می‌کنیم: $-۱ - \frac{۱}{۳} = -\frac{۴}{۳}$
* عبارت میانی: $\frac{۱}{-۱ - (\frac{۱}{-\frac{۴}{۳}})} = \frac{۱}{-۱ - (-\frac{۳}{۴})} = \frac{۱}{-۱ + \frac{۳}{۴}}$
* مخرج نهایی: $-۱ + \frac{۳}{۴} = -\frac{۱}{۴}$
* حاصل نهایی: $\frac{۱}{-\frac{۱}{۴}} = -۴$
۲- عددهای زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید:
الف) $ \frac{۷}{۸}, -\frac{۲}{۳}, \frac{۳}{۴}, -۲, -۳\frac{۵}{۶} $
ب) $ ۱\frac{۴}{۷}, -\frac{۳}{۴}, ۲/۷۵, -\frac{۵}{۶}, \frac{۳}{۵}, \frac{۵۶}{۱۳} $
پاسخ تشریحی:
برای مقایسه و مرتب‌سازی این اعداد، بهترین روش تبدیل همه آنها به نمایش اعشاری است.
**الف)**
* $ \frac{۷}{۸} = ۰.۸۷۵ $
* $ -\frac{۲}{۳} \approx -۰.۶۷ $
* $ \frac{۳}{۴} = ۰.۷۵ $
* $ -۲ = -۲.۰ $
* $ -۳\frac{۵}{۶} = -\frac{۲۳}{۶} \approx -۳.۸۳ $
حالا اعداد اعشاری را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم:
$ -۳.۸۳ < -۲.۰ < -۰.۶۷ < ۰.۷۵ < ۰.۸۷۵ $
بنابراین، ترتیب اصلی اعداد به صورت زیر است:
$ -۳\frac{۵}{۶} < -۲ < -\frac{۲}{۳} < \frac{۳}{۴} < \frac{۷}{۸} $
---
**ب)**
* $ ۱\frac{۴}{۷} = \frac{۱۱}{۷} \approx ۱.۵۷ $
* $ -\frac{۳}{۴} = -۰.۷۵ $
* $ ۲.۷۵ $
* $ -\frac{۵}{۶} \approx -۰.۸۳ $
* $ \frac{۳}{۵} = ۰.۶ $
* $ \frac{۵۶}{۱۳} \approx ۴.۳۰ $
مرتب‌سازی اعداد اعشاری:
$ -۰.۸۳ < -۰.۷۵ < ۰.۶ < ۱.۵۷ < ۲.۷۵ < ۴.۳۰ $
بنابراین، ترتیب اصلی اعداد به صورت زیر است:
$ -\frac{۵}{۶} < -\frac{۳}{۴} < \frac{۳}{۵} < ۱\frac{۴}{۷} < ۲.۷۵ < \frac{۵۶}{۱۳} $
۳- بین هر دو کسر، سه کسر بنویسید.
الف) $ \frac{۱۰}{۱۱}, \frac{۱۲}{۱۳} $
ب) $ ۰, -\frac{۱}{۳} $
پاسخ تشریحی:
برای پیدا کردن کسر بین دو کسر، از روش **هم‌مخرج کردن** استفاده می‌کنیم.
**الف) بین $ \frac{۱۰}{۱۱} $ و $ \frac{۱۲}{۱۳} $**
* **مرحله ۱:** ابتدا دو کسر را با کوچکترین مخرج مشترک ممکن (ک.م.م) هم‌مخرج می‌کنیم: $۱۱ \times ۱۳ = ۱۴۳$.
* $ \frac{۱۰}{۱۱} = \frac{۱۰ \times ۱۳}{۱۱ \times ۱۳} = \frac{۱۳۰}{۱۴۳} $
* $ \frac{۱۲}{۱۳} = \frac{۱۲ \times ۱۱}{۱۳ \times ۱۱} = \frac{۱۳۲}{۱۴۳} $
* **مرحله ۲:** بین صورت‌های ۱۳۰ و ۱۳۲ تنها یک عدد صحیح (۱۳۱) وجود دارد. پس برای یافتن سه کسر، باید از مخرج بزرگتری استفاده کنیم. برای این کار، صورت و مخرج کسرها را در یک عدد ثابت (مثلاً ۴) ضرب می‌کنیم.
* $ \frac{۱۳۰ \times ۴}{۱۴۳ \times ۴} = \frac{۵۲۰}{۵۷۲} $
* $ \frac{۱۳۲ \times ۴}{۱۴۳ \times ۴} = \frac{۵۲۸}{۵۷۲} $
* **مرحله ۳:** حالا می‌توانیم سه کسر با صورت‌های بین ۵۲۰ و ۵۲۸ انتخاب کنیم:
$ \frac{۵۲۱}{۵۷۲}, \frac{۵۲۲}{۵۷۲}, \frac{۵۲۳}{۵۷۲} $
---
**ب) بین $ ۰ $ و $ -\frac{۱}{۳} $**
* **مرحله ۱:** این دو عدد را به صورت کسرهایی با مخرج یکسان می‌نویسیم. مخرج ۴ مناسب است.
* $ -\frac{۱}{۳} = -\frac{۴}{۱۲} $
* $ ۰ = \frac{۰}{۱۲} $
* **مرحله ۲:** حالا سه کسر با مخرج ۱۲ پیدا می‌کنیم که صورت آنها بین ۴- و ۰ باشد. اعداد صحیح مناسب برای صورت عبارتند از: ۱-، ۲-، و ۳-.
* **مرحله ۳:** سه کسر مورد نظر عبارتند از:
$ -\frac{۳}{۱۲}, -\frac{۲}{۱۲}, -\frac{۱}{۱۲} $
که می‌توان آنها را ساده کرد: $ -\frac{۱}{۴}, -\frac{۱}{۶}, -\frac{۱}{۱۲} $. ترتیب صحیح به این صورت است: $ -\frac{۱}{۳} < -\frac{۱}{۴} < -\frac{۱}{۶} < -\frac{۱}{۱۲} < ۰ $.
